关系代数

relational algebra

关系

$$R(U,D,dom,F) \mid R(U)$$

$\text{notes} \\ R \space : \space \text{(Relation)(Relation Schema)} \\ U \space : \space \text{(Attributes)} \\ D \space : \space \text{(Domains)} \\ U \xrightarrow{dom:\text{mapping}} D \\ U_j \xrightarrow{F:\text{reference}} U_k \\ u_j \xrightarrow{F:\text{reference}} u_k$

属性

属性是事物特征的抽象

域

域是属性取值的范围

第一范式

域应是原子数据

基本关系运算

并

差

笛卡尔积

投影

选择

$\cup$$-$$\times$$\pi$$\sigma$

并

$$|R|=|S|$$

$$R \cup S=\{t \mid t \isin R \lor t \isin S\}$$

差

$$|R|=|S|$$

$$R-S=\{t \mid t \isin R \land t \notin S\}$$

笛卡尔积

$$|R|=m \space |S|=n$$

$$R \times S=\{t \mid t=<t^m,t^n> \land t^m \isin R \land t^n \isin S\}$$

投影

$$\pi_A(R)=\{t[A] \mid t \isin R\}$$

$$A=\text{attributes}$$

选择

$$\sigma_F (R)=\{t \mid t \isin R \land F(t)=True\}$$

术语对照

属性

关系模式

元组

字段、数据项

记录类型

记录

扩展关系运算

交

theta连接

自然连接

除

广义投影

左外连接

右外连接

全外连接

$\cap$$\Join \atop {X \theta Y}$$\Join$$\div$$\pi$$⟕$$⟖$$⟗$

交

$$R \cap S=\{t \mid t \isin R \land t \isin S\}$$

theta连接

$$|R|=m \space |S|=n$$

$$R {\scriptstyle{\Join \atop X \theta Y}}S=\{t \mid t=<t^m,t^n> \land t^m \isin R \land t^n \isin S \land t^m[X] \theta t^n[Y]\}$$

$$R {\scriptstyle{\Join \atop X \theta Y}} S=\sigma_{X \theta Y}(R \times S)$$

$$|X|=|Y|$$

自然连接

$$|R|=m \space |S|=n$$

$$R \Join S = \begin{cases} R \times S & \text{if \space} R_A \cap S_B = \{\Phi\} \\ \sigma_{R.C=S.C} (R \times S)-S.C & \text{if \space} R_A \cap S_B = C \end{cases}$$

除法

$$R \times S = T$$

$$T \div S = R$$

广义投影

$$\pi_{F_1,\cdots,F_j}(R)$$

笛卡尔积

$D_1,\cdots,D_n \\ \underbrace{D_1 \times \cdots \times D_n}_\text{Cartesian product}=\{\underbrace{(d_1, \cdots , d_n)}_\text{n-tuple} | \underbrace{d_i}_\text{component} \in D_i , 0 < i \le n\} \\ \forall |D_i(0 < i \le n)|=m_i\ \\ \exists |D_1 \times \cdots \times D_n|=m_1 \times \cdots \times m_n=\underbrace{\prod^{n}_{i=1}m_i}_\text{Cardinal number} \\ R \subseteq D_1 \times \cdots \times D_n$

• $D$（集合）
• Cartesian product（笛卡尔积）
• n-tuple（$n$元组）
• component（分量）
• Cardinal number（基数）（集合元素的个数、笛卡尔积元组的个数）
• $R$（关系）（笛卡尔积的子集在集合域上的（$n$元）关系）
  • $R$（关系的名字）
  • $n$（Degree）（关系的目、度）
• 存在一个$d_i$可唯一标识元组$(d_1, \cdots , d_n)$
  • $d_i$(Candidate Key)（候选码）
• 存在多个候选码，选定一个作为主码(primary key)
• 包含在任何候选码中的任何属性
  • 主属性(None-Key attribute)
• 不包含在任何候选码中的属性
  • 非码属性
• $K \xrightarrow{\text{key}} R_1 \space K \xrightarrow{\xcancel{\text{key}}} R$
  • $K$是$R$的外码(Forign Key)
• $\exist R(T,C,S)$
  • $(T,C,S)$是$R$的全码(All-Key)